تخمين پارامترهاي احتمال

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
تخمين پارامترهاي احتمال:
1: روش احتمال شرطي
اجازه دهيد(X1,Y1) , ... Xn,Yn) ,) نشان دهنده نمونه هاي تصادفي از جامعه n باشند اين نمونه ها براي تخمين Рr(C|A) استفاده مي شوند . احتمال شرطي رخداد C به شرط رخدادA به وسيله فرمول اماري زير محاسبه مي شود :

(1. 4)

كه وظايف مشخصه هاي XA ,Xc نشان داده مي شوند به وسيله :

(2. 4)

(3. 4)


حالافرض كنيد به جاي پديده هاي معمولي Aو C پديده هاي فازي جايگزين شوند .
اين به اين معناست كه به وسيله mfs پديده هاي A,C به µA وμC تعريف شوندو
به جاي XΑ،Xc در معادله 4.1 جايگزين شوند . در نتيجه خواهيم داشت :
(4.4)
اين فرمول پايه تعريف احتمال رخداد در پديده فازي مي باشد ( درس 37 ) .
مشتق اول فرمول 4.4 درسهاي 35و36 را پديد مي آورد .
نتيجه فرمول 4.4 در تخمين پارامترهاي شرطي درPFS استفاده مي شود . اين ديدگاه دردرسهاي 16و18و34 دنبال مي شود كه به روشهاي احتمال شرطي در اين تز اشاره
مي كند .
فرض كنيد مجموعه اطلاعاتي شاملn نمونه به صورت ( (i=1,2, ...,n) ( Xi,Yi
براي تخمين پارامترهاي احتمال در دسترس باشد همچنين فرض كنيد كه هم مقدمه وهم نتيجه mfs درسيستم تعيين شده است ونياز به بهينه سازي بيشتر نمي باشد يعني فقط پارامترهاي احتمال درتخمين باقي بمانند . به نظر منطقي مي آيد كه پارامترهاي Pj,k واقعي رابراي تخمين احتمال شرطي پديده فازي Ck به شرط رخداد پديده فازي Aj قرار دهيم . اگرچه ورودي X به تعريف بيشتر احتياج ندارد اما براي نشان دادن غير عادي بودن محاسبات mfµAj وmfµ¯Aj بايد ازفرمول زيراستفاده شود :
(4.5)
بنابراين Pj,k واقعي است و براي تخمين احتمال شرطي پديده فازي Ck ونشان دادن غير عادي بودن پديده فازي Aj بايد ازآن استفاده شود .
توجه داشته باشيد كه PFSs براي نمونه هاي برگشتي يك قانون پايه دارد كه فقط با همان قانون كه در پارامترهاي شرطي Pj,k استفاده مي شود ودرفرمول 4.5 نشان داده شده هيستوگرامهاي فازي مورد بحث دردرس 2 را معادل سازي مي كند .
درPFS براي نمونه هاي طبقه بندي درهرطبقه Ck به صورت يك خروجي جديد نشان داده مي شود پس فرمول 4.5 به صورت زير هم نوشته مي شود :
(4.6)

عملكرد مشخصه XCk بوسيله فرمول زير نشان داده مي شود :
(4.7)

درتعريف اين قسمت ،احتمالات آماري پارامترها تخمين زده مي شوند . به PFSs درنمونه هاي طبقه بندي در تجزيه وتحليل فرمولهاي (4.5) و(4.6) در قسمت (4.1.1) توجه مي شود . همچنين در قسمت (4.1.2) درنمونه هاي برگشتي PFSs بررسي مي شود .

4.1.1- نمونه هاي طبقه بندي درمسائل آماري :
دراين قسمت ثابت مي شود كه مسئله هاي احتمال كه به وسيله فرمول (4.6) تخمين زده شده باشند غير واقعي وناهماهنگ هستند وبا معيارهاي ML سازگار نمي باشند .
همچنين كافي است يك عامل نمونه درفرمول( 4.6) قرارداده شود تا غير واقعي وناهماهنگ بودن تخمين هاي بدست آمده واينكه بيشينه سازي احتمال درست نمايي مجموعه اطلاعات انجام نمي شود اثبات گردد.
ملاحظه كنيد كه درPFS اگرمسئله طبقه بندي درخواست شده 2 نوع باشد باC1 وC2 نمايش داده مي شود . PFS يك ورودي X=[0,1] ويك قانون پايه شامل 2 احتمال تئوري فازي دارد . در مقدمه mfs فازي A1,A2 مي نشيند پس خواهيم داشت :
(4.8)
دردنباله با توجه به فرمول (3.4) كه µ¯Aj=µAj و j=1,2 مفروض است كه احتمال شرطي C1 وC2 برابر است با :

(4.9)
با استفاده ازفرمول (3.5) مي توانيم احتمال هاي شرطي نا شناخته اي را كه براي تخمين بهPFS احتياج ندارند ببينيم .
بااستفاده از فرمول (4.9) پارامترهاي احتمال بدين صورت خواهند بود كه :
P*1,1=P*2,2=1 و P*1,2=P*2,1=0 ( توجه كنيد كه در اين مثال مقدمه mfs درفرمول
(4.8) به روشي انتخاب شده است كه بدست آوردن تخمين درست احتمال شرطي PFS
را مشكل مي نمايد لذا بدست آوردن تخمين هاي درست احتمال شرطي پارامترهاي احتمال
Pj,k نيزمشكل خواهد بود ودر نتيجه آناليز تخمين هاي پارامترهاي احتمالي ، غيرواقعي وناهماهنگ مي باشد .
درادامه 2قضيه كه درارتباط باپارامترهاي آماري فرمول (4.6) مي باشد خواهد آمد . براي اثبات قضيه ها از مثال فوق استفاده ميگردد .
قضيه4.1:
براي نمونه هاي طبقه بندي شده در PFS بااستفاده از فرمول (4.6)اثبات كنيد كه تخمين هاي Pj,k ازپارامترهاي احتمالي P*j,k غيرواقعي وناهماهنگ هستند .
اثبات : مثالي را كه دربالا نشان داده شده ملاحظه نماييد . فرض كنيد يك مجموعه اطلاعاتي شامل n نمونه طبقه بندي شده (i=1, ... , n) ( Xi,yi) براي تخمين پارامترهاي احتمال درPFS دردسترس است . براي سادگي فرض كنيد كه X1, ... ,Xn ارزشهاي ثابتي دارند يعني فقط Y1, ... ,Yn نمونه هايي بارفتارهاي متغير هستند . براي مثال تخمين
P2,2 ازپارامتراحتمالي P*2,2 را ملاحظه كنيد . ازفرمولهاي (4.6) ،(4.7) ،(4.8) ،(4.9)
چنين بدست مي آيد كه :
(10،4)
حالا فرض كنيد كه XiЄ(0,1) و,n) (i=1,... سپس از فرمول (4.10) بدست آوريد كه
Ep2,2Є(0,1) تازمانيكه P*2,2=1 تخمين غيرواقعي ازP2,2 باشد . اين بحث اعداد مستقلي از نمونه هاي طبقه بندي شده n راشامل ميگردد. همچنين ازn→∞ تشكيل شده است .از دو مورد فوق نتيجه مي شود كه تخمين P2,2 غير واقعي و ناهماهنگ است .
معادله (4.6) تخمين هاي پايه رافقط وفقط براي اعدادمثبت Є .