خصوصيات اصلي و رفتار فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
چكيده
هدف از اين تحقيق بررسي خصوصيات اصلي و رفتار فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دو جنسي با تابع خانوادة زير جمعي و احتمالات انقراض در چنين فرآيندهايي است.
مدلي از فرآيند شاخه اي دو جنسي مفروض است به طوري كه توزيع زاد و ولد به اندازه جمعيت بستگي دارد. همچنين حالت خاص را در نظر مي گيريم كه در آن نرخ رشد جمعيت (ميانگين توزيع زاد و ولد)، وقتي به ميل مي كند .
براي اين نوع از فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دوجنسي شرط لازم براي همگرايي فرآيند در و ارائه مي گردد.
همچنين شرط كافي براي همگرائي در به دست خواهد آمد.

مقدمه
تا كنون مطالعات زيادي روي نحوه رشد جمعيت و احتمال انقراض در فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون استاندارد انجام شده است. در حالت دوجنسي (كه مدل مناسبي براي جامعة انساني است) تعميم اين قضايا لازم به نظر مي رسد. زماني كه ما چگونگي رشد جمعيت را بدانيم، مي توانيم زمان انقراض رفتار مجانبي رشد جامعه را بررسي كنيم و مدل مناسبي براي آن بدست آوريم.
فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون دو جنسي اولين بار توسط دالي در سال 1968 و پس از آن توسط آسمونس در سال 1980 تعريف و بررسي شد. دالي نشان داد كه فرآيند شاخه اي گالتون- واتسون دو جنسي يك زنجير ماركوف با ماتريس احتمال تغيير وضعيت يك مرحله اي با فضاي حالت صحيح و نامنفي است.
در نظريه فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون استاندارد مي دانيم كه فرآيند با احتمال 1 منقرض مي شود اگر و فقط اگر ميانگين توليد مثل براي هر فرد دلخواه كمتر از 1 باشد.
حال ما مي خواهيم بدانيم «آيا قوانين متشابهي براي احتمالات انقراض در فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دو جنسي وجود دارد؟»
در سال 1968 دالي يك شرط لازم و كافي براي احتمال انقراض 1 براي فرآيندهاي با توابع خانوادة خاص به دست آورد.
هدف از اين تحقيق معرفي فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دوجنسي و فرآيند زوجهاي هم خانواده و بيان ويژگي هاي آنها و مقايسه احتمالات انقراض در چنين فرآيندهايي است ابتدا شروط انقراض در فرآيندهاي شاخه اي گالتون- واتسون دوجنسي را بررسي مي كنيم سپس قوانين كلي انقراض و در نهايت گشتاورهاي فرآيند و برخي خواص آنها را مورد بررسي قرار مي دهيم.

فصل اول

فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون استاندارد

1-1-مروري بر تعاريف و قضاياي مقدماتي
1-2-فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون استاندارد
مقدمه
هدف از اين فصل ارائه مطالب كلي و مورد نياز براي مطالعة فصل هاي بعدي مي باشد در بخش اول برخي از تعاريف و قضاياي مقدماتي را كه بعداً به آنها نياز خواهيم داشت بررسي مي كنيم و در بخش دوم فرآيندهاي شاخه اي گالتون-واتسون استاندارد و برخي خواص عمومي آن را مورد مطالعه قرار مي دهيم.

1-1- مروري بر تعاريف و قضاياي مقدماتي
تعريف 1-1-1: يك فرآيند تصادفي عبارتست از گرد آيه اي مانند از متغيرهاي تصادفي ، كه در يك فضاي احتمال مشترك و با مقادير در فضاي حالت S تعريف مي‌شوند. T زير مجموعه‌اي از است و معمولاً به عنوان مجموعه پارامتر زمان تعبير مي‌شود .
هرگاه فرآيند را فرآيند با زمان پيوسته مي نامند و هرگاه فرآيند را فرآيند با زمان گسسته نامند.
معمولاً اگر فرآيند را به صورت نمايش مي دهند.
فرآيند مورد نظر ما در اين رساله فرآيند با زمان گسسته است.
تعريف 1-1-2: فرض كنيد فرآيند تصادفي با زمان گسسته و فضاي حالت شماراي S باشد گوئيم اين فرآيند يك زنجير ماركوف است اگر به ازاي هر و هر و y از حالتها، رابطة زير برقرار باشد:
(1-1)

يعني فقط اطلاع از حالت فرآيند در مرحلة n براي تعيين توزيع حالت فرآيند در مرحلة كفايت مي كند و اطلاعات قبل از آن مؤثر نخواهد بود.
احتمال شرطي را احتمال انتقال يك مرحله اي از x در مرحله n ام به y در مرحله ام مي ناميم. احتمالات انتقال را با نشان مي‌دهيم بنابراين:

ماتريس را كه درايه هاي آن احتمالهاي انتقال يك مرحله است ماتريس احتمال انتقال يك مرحله اي مي‌ناميم.