ظهور ساختارهاي جبري

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
جمع وضرب معمول كه بر روي مجموعه اعداد صحيح مثبت انجام مي شود اعمال دوتايي اند كه داراي خواص زير مي باشند. مثلا اگر a,b,c معرف اعداد صحيح مثبت دلخواهي باشد داريم.
1)a+b=b+a موسوم به قانون جابجايي جمع
2)a×b=b×a قانون جابجايي ضرب
3)c+b +a=c+(b+a) قانون شركت پذيري جمع
4)(c×b×a= b×a قانون شركت پذيري جمع
5)(c×a)+(b×a)=(c +b)×a قانون توزيع پذيري ضرب نسبت به در اوائل قرن نوزدهم جبر صرفا حساب علامتي تلقي مي شد به عبارت ديگر به جاي كاركردن با اعداد معين به طريقي كه در حساب عمل مي شود، در جبر حروفي را كه معرف اين اعداد به كادمي مي جويم در اين صورت در اين صورت پنج عمل بالا در جبر بروي اعداد صحيح مثبت صادق اند ولي چون گزاره ها علامتي هستند اين خواص را ميتوان به عنوان خواص دستگاههاي عناصر ديگري كاملا متفاوت با اعداد نيز تلقي كرد به عبارت ديگر يك ساختار جبري مشترك پنج خاصيت اسامي وپيامدهاي آن به بسياري از دستگاهها متفاوت وابسته است لذا باچنين ديدگاهي جبر با حساب گسسته درارتباط است.
اين ديدگاه جديد در اوايل قرن نوزدهم با كار جورج پيكاك فارغ التحصيل ومعلم كمبريج وسرپرست كليساي ايلي پديدر شد وي با مقايسه جبر با اصول اقليدس توانست براي خود عنوان اقليدس جبر را كسب نمايد او بين جبر نمايدي وجبر حسابي تمايز قائل شد بدين ترتيب كه تفريق در جبر نمادي با تفريق در جبر حسابي متفاوت است از اين جهت كه در اولي اين عمل همواره انجام پذير است ولي در دومي مثلا در تفريق a-b بايد داشته باشيم a>b توجيه تعميم اين قواعد جبر حسابي براي جبرنمادي توسط پيكاك اصل تداوم صورتهاي معادل ناميده شد. جبر نمادي پيكاك يك جبر حسابي عام است كه اعمال ان تا وقتي كه درجبر بطور مشترك پيش مي روند توسط اعمال جبر حسابي تعيين مي شوند ودر ساير موارد بر طبق اصل تداوم صورتهاي معادل معين مي گردند بعنوان مثال در نظريه نمادها اگر a يك عدد گوياي مثبت و nعددي صحيح ومثبت باشد آنگاه an حاصلضرب n باد a درخود است از اين تعريف نتيجه مي شود كه به ازاي هر دو عدد صحيح مثبت مانند m و n ، بنابر اصل تداوم صورتهاي معادل پيكاك پذيرفت كه در جبر نمادي ماهيت پايه يا نمادهاي n,m هر چه باشند داريم در اوايل قرن نوزدهم قابل تصور نبود كه جبري متفاوت با جبر معمولي حساب موجود باشد مثلا كوشش براي ساختن جبر سازگاري كه در آن قانون جابجايي ضرب برقرار نباشد نه تنها احتمالا در آن زمان به ذهن كسي نمي رسيد بلكه حتي اگر هم به ذهن كسي خطور مي كرد مطمئنا به عنوان فكر كاملا مسخره اي دورافكنده مي شد با همه اينها چگونه مي شد احتمالا جبري منطقي داشت كه در آن b×a مساوي a×bنباشد درباره جبر احساس چنين بود تا آنكه در سال 1843 ويليام اوائل هميلتن بنابر ملاحضاتي در فيزيك مجبور به اختراع جبري شد كه در آن قانون جابجايي ضرب برقرار نيست. ازلحاظ رياضيدانان عصر وي يك عدد مختلط عددي بود به شكل a+bi كه در آن a و b اعداد حقيقي بودند و جمع و ضرب اعداد مختلط با در نظر گرفتن a+bi بعنوان يك چند جمله اي خطي نسبت به گذاشتن به جاي i2 ، هر جا كه ظاهر مي شد، صورت مي گرفت.