مينيمم كردن توابع چند متغيره
دسته بندي :
علوم پایه »
ریاضی
مقدمه:
يك كاربرد مهم حساب ديفرانسيل، پيدا كردن مينيمم موضعي يك تابع است. مسائل مربوط به ماكزيمم كردن نيز با تئوري مينيمم كردن قابل حل هستند. زيرا ماكزيمم F در نقطه اي يافت مي شود كه -F مينيمم خود را اختيار مي كند.
در حساب ديفرانسيل تكنيك اساسي براي مينيمم كردن، مشتق گيري از تابعي كه مي‌خواهيم آن را مينيمم كنيم و مساوي صفر قرار دادن آن است.
نقاطي كه معادله حاصل را ارضا مي كنند، نقاط مورد نظر هستند. اين تكنيك را مي توان براي توابع يك يا چند متغيره نيز استفاده كرد. براي مثال اگر يك مقدار مينيمم را بخواهيم، به نقاطي نگاه مي كنيم كه هر سه مشتق پاره اي برابر صفر باشند.
اين روند را نمي توان در محاسبات عدي به عنوان يك هدف عمومي در نظر گرفت. زيرا نياز به مشتقي دارد كه با حل يك يا چند معادله بر حسب يك يا چند متغير بدست مي آيد. اين كار به همان سختي حل مسئله بصورت مستقيم است.
مسائل مقيد و نامقيد مينيمم سازي:
مسائل مينيمم سازي به دو شكل هستند:نامقيد و مقيد:
در يك مسئله ي مينيمم سازي نامقيد يك تابع F از يك فضاي n بعدي به خط حقيقي R تعريف شده و يك نقطه ي با اين خاصيت كه
جستجو مي شود.
نقاط در را بصورت z, y, x و... نشان مي دهيم. اگر نياز بود كه مولفه هاي يك نقطه را نشان دهيم مي نويسيم:
در يك مسئله ي مينيمم سازي مقيد، زير مجموعه ي K در مشخص مي شود . يك نقطة
جستجو مي شود كه براي آن:
چنين مسائلي بسيار مشكل ترند، زيرا نياز است كه نقاط در K در نظر گرفته شوند. بعضي مواقع مجموعه ي K به طريقي پيچيده تعريف مي شود.
سهمي گون بيضوي به معادله‌ي
را در نظر بگيريد كه در شكل 1-14 مشخص شده است. به وضوح مينيمم نامقيد در نقطه ي
(1و1) ظاهر مي شود، زيرا:
اگر
مينيمم مقيد 4 است و در (0،0) اتفاق مي افتد.
Matlab داراي قسمتي است براي بهينه سازي كه توسط اندرو گريس طراحي شده و شامل دستورات زيادي براي بهينه سازي توابع عمومي خطي و غير خطي است.
براي مثال ما مي توانيم مسئله ي مينيمم سازي مربوط به سهمي گون بيضوي نشان داده شده در شكل 1-14 را حل نماييم.
ابتدا يك M-file به نام q1.m مي نويسيم و تابع را تعريف مي كنيم: