مسائل مقدار مرزی

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
بطوركلي يك مسأله مقدار مرزي بصورت زير مي باشد :

(1-1)
كه در آن L يك عملگر ديفرانسيلي مرتبه m ام ، r يك تابع مفروض و شرايط مرزي مي باشند . فرض كنيد x يك متغير مستقل براي مسأله مقدار مرزي باشد و شرايط مرزي در دو نقطه (مرزها) باشد بنابراين رابطة
(1-1) را مي توانيم به فرم خطي زير نيز بنويسيم :

(1-2)
براي ، k تا شرط مرزي مستقل خطي كه تنها شامل مشتقات تا مرتبه (q-1)ام مي باشند را شرايط مرزي essential (اساسي) مي گوئيم . و ( ) شرط باقيمانده را شرايط مرزي Suppressible مي ناميم . ساده ترين مسأله مقدار مرزي كه با معادلة ديفرانسيل مرتبه دوم مي باشد بصورت زير است :
(1-3)
با يكي از سه نوع شرايط مرزي كه در زير داده شده اند :
شرايط مرزي نوع اول
شرايط مرزي نوع دوم
شرايط مرزي نوع سوم كه گاهي شرايط مرزي Sturm's ناميده مي شود :

بطوريكه و و و ثابتهاي مثبت مي باشند .
اگر در رابطه (1-1) ، معادلة ديفرانسيل همگن ناميده مي شود و همچنين بطور مشابه اگر در رابطه (1-2) ها آنگاه شرايط مرزي همگن ناميده مي شوند .
بنابراين مسأله مقدار مرزي همگن ناميده مي شود اگر معادلة ديفرانسيل و شرايط مرزي همگن باشند يك مسأله مقدار مرزي همگن ( و ) تنها داراي جواب بديهي مي باشد .
بنابراين ما آن دسته از مسائل مقدار مرزي را در نظر مي گيريم كه اگر يك پارامتر را در معادلة ديفرانسيل يا در شرايط مرزي اثر دهيم بتوانيم آن را مشخص كنيم (به اين ‌ها مقادير ويژه گفته مي شود) در اين صورت مسأله مقدار مرزي جواب غيربديهي دارد و به اين جوابها توابع ويژه مي گوئيم .
در مسائل مقدار مرزي ثابتهاي دلخواه در جواب از روي شرايط مرزي كه در بيشتر از يك نقطه باشند بدست مي آيد . بنابراين امكان دارد كه بيشتر از يك جواب داشته باشيم يا هيچ جوابي نداشته باشيم .
قضيه (1-1-1) : مسأله مقدار مرزي زير را در نظر بگيريد :

و فرض كنيد كه f در ناحيه R پيوسته مي باشد .
,
همچنين f در شرط ليپ شيتز صدق مي كند يعني :


براي هر
در مجموع فرض كنيد f در ناحيه R در شرايط زير صدق مي كند :

( ثابت) و همچنين براي شرايط مرزي مسأله فرض كنيد :

آنگاه مسأله مقدار مرزي (BVP) داده شده يك جواب منحصر بفرد دارد . [2]

1-2-وجود و يكتايي جواب مسائل مقدار مرزي :
مسأله مقدار مرزي زير را در نظر بگيريد :