ریاضیات گسسته

دسته بندي : علوم پایه » ریاضی
مقدمه:
تاريخچه رياضيات گسسته
پيشرفتهاي سريع تكنولوژي در نيمه دوم قرن يبستم به ويژه پيشرفتهاي شگفت آور علوم كامپيوتر، مسائل جديد را مطرح كردندكه طرح و حل آنها روشها و نظريه هاي تازه اي مي طلبد. طبيعت متناهي و گسسته بسياري از اين مسائل موجب شده است كه روشها و قواعد گوناگون شمارش از اهميت خاصي بر خوردار شوند. توفيق مفاهيم لازم براي بررسي اين مسائل به كار گيري منطق رياضي و نظريه مجموعه ها را اجتناب ناپذير ساخته است.
معادلات تفاضلي، روابط بازگشتي، توابع مولد، از ديگراجزايي هستند ك در حل مسائل مورد بحث نقشي اساسي دارند از طرف ديگر هنگام بررسي مسائل مربوط به مدارها، شبكه هاي حمل و نقل، ارتبا طات بازاريابي و غيره نقش جايگزين ناپذري گرا فها قا طعانه آشكار مي شود.
رياضيات گسسته مقدماتي متني فشرده برابر يك دوره رياضيات گسسته در سطحي مقدماتي براي دانشجويان كارشناسي علوم كامپيوتر و رياضيات است. مولفه هاي اساسي برنامه كار ريا ضيات گسسته در سطحي مقد ماتي عبارتند از : تركيبات نظريه گرا فها همراه با كار بردهايي در چند مسئاله استاندارد بهينه سازي شبكه ها، الگوريتمهايي براي حل اين مسائل مهم اتحاديه سازندگان ماشينهاي محاسبه و مهم كميته برنامه ريزي يراي كارشناسي ريا ضي بر نقش حياتي يك دوره درسي روشهاي گسسته در سطح كارشناسي كه دانشجويان را به حيطه رياضيات تركيباتي و ساختارهاي جبري و منطقي وارد كند و روي ارتباط متقابل علوم كامپيوتر و رياضيات تأكيد داشته باشد صحه گذاشته اند.

جايگاه و ضرورت آموزش رياضيات گسسته در نظام جديد دبيرستاني
در جريان تغيير نظام آموزش دوره هاي كارشناسي رياضي در سالهاي اخير در دانشگاهها و موسسات آموزش عالي شاهد بوديم كه درسهاي جديد به تنا سب گرايشهاي اين رشته جايگزين درسهايي از نظام قبلي شدند. درس ريا ضيات گسسته نيز به ارزش 4 واحد درسي در اين راستا بعنوان يكي از واحدهاي پايه همه گرايشهاي دوره كارشناسي رياضي در نظر گرفته شده است. در كتابهاي درسي ريا ضي نظام جديد دبيرستان نيز شاهد گنجاندن مفاهيم پايه اي مربوط به مباحث مقدماتي رياضيات گسسته مانند نظريه گراف و دنباله ها و آمار و احتمال و ... مي باشيم.
همچنين در دوره پيش دانشگاهي نيز درسي جداگانه تحت عنوان رياضيات گسسته در نظر گرفته شده است. از آنجا كه اين شاخه از رياضي نياز مند بحث و تبادل نظر از لحاظ آموزشي و تعيين جايگاه و ارتباط آن با ساير شاخه ها و موضوعات رياضي مي باشد.
مطالبي كه در اين قسمت از بحث طرح خواهد شد بيشتر بر اساس مقاله اي است كه تحت عنوان »آموزش رياضي گسسته در دوره دبيرستان« توسط پروفسور آ.كاتلين
در مجلة بين المللي رياضيات، علم و تكنولوژي 1990 درج شده است.
» انقلاب كامپيوتري، رياضيات گسسته را همانند حساب ديفرانسيل و انتگرال براي علم و تكنولوژي ضروري ساخته است.«

محتواي كلي رياضيات گسسته
محتواي دقيق يك دوره رياضيات گسسته هنوز تا حدودي به طور مبهم باقيمانده است، زيرا هم كتابهايي كه تاكنون در اين زمينه به رشته تحرير در آمده و هم برنامه هاي درسي كه در اين مورد از سوي برنامه ريزان مباحث درسي رياضي تهيه وتنظيم مي شود، دقيقاَ نتوانسته اند موضوعات و قلمرو مباحث اين درس را مشخص نمايند. موضوعاتي از قبيل نظريه اعداد و آمار و احتمالات و جبر خطي آناليز عددي و مباحسات و برنامه سازيهاي كامپيوتري ضمن اينكه در رياضيات پيوسته جاي پاي محكمي دارند، در رياضيات گسسته نيز خودنمايي و شكوفاي روز افزون دارند. با اين حال مي توان گفت كه رياضيات گسسته شامل مباحثي است كه مراحل مربوط به تغييرات گسسته و كميتهاي گسسته را توصيف مي كند، در مقابل كالكوس كه مراحل تغييرات به طور پيوسته را دنبال مي كند پس به طور دقيق مي توان گفت كه رياضيات گسسته كالكوس( حسابان) نيست.
به طور كلي يك دوره رياضيات گسسته را مي توان شامل عناوين زير دانست:
منطق راضي و نظريه مجموعه ها ، ساختار هاي جبري از قبيل مباحث مربوط به گروهها و حلقه ها و ميدانها و كواتريونها، شببكه ها جبر يون، نظريه گراف، روشهاي تركيبات و شمارش، نظريه اعداد محاسبات و الگوريتمهاي عددي و تجزيه و تحليل آنها، استقرار و روابط بازگشتي معادلات تفاضلي،آمار و احتمال با فضاهاي نمونه اي گسسته.

تفاوت رياضيات گسسته و حساب ديفرانسيل و انتگرال ( رياضيات پيوسته)
در اساسي ترين سطح، مدلي براي بيان تفاوت بين رياضيات گسسته و رياضيات پيوسته ( يعني حساب ديفرانسيل و انتگرال و شاخه هايي از آنا ليز كه به حساب ديفرانسيل و انتگرال وابسته اند) تفاوت بين اعداد صحيح و اعداد حقيقي است. اعداد حقيقي، پايه همه ريا ضياتي هستند كه مانند حساب ديفرانسيل و انتگرال با خواص توابع پيوسته سر و كار دارند. در حاليكه رياضيات گسسته بيشتر با توابعي سر و كار دارند كه بر مجموعه نقاط گسسته تعريف شده اند( مثل دنباله ها) واز بسياري جنبه ها به طور كامل با ساختمان پرشكوه آناليز كه بر پايه حساب ديفرانسيل بنا شده است و به طور عمده به توابع پيوسته مي پردازد، تفاوت دارد. مي دانيم كه سيستم هاي فيزيكي از تعداد زيادي ذرات گسسته – اتمها و مولكولها – تشكيل شده است، در عمل پيوسته فرض كردن ماده فرض بسيار مناسب و دقيقي است. اين سبب مي شوند كه اكثر پديده ها ي طبيعي سيستمهاي فيزيكي كه از طريق حساب ديفرانسيل و انتگرال مدل سازي مي شوند نوعاَ به صورت معادلات ديفرانسيل درآيند. اين عملكرد آنچنان موفقيت شگفت انگيزي داشته است ك نتايج حاصل از آن تقريباَبراي همه مقاصد و اهداف ذاتاَ دقيق اند و موفقيت مهندسي وصنعت در قرنهاي اخير در سراسز دنيا مرهون اين مدل سازي زيبا و دقيق و كار بردي رياضي است، خصوصاَ از زماني كه پيدايش حسابگرهاي رقمي و سپس كامپيوترها امكان بررسي و حل عددي معادلات ديفرانسيل و ديگر معادلات را فراهم نمودند. اين آغاز شكوفايي آناليز عددي بود نمونه متعارف از مسائلي كه با استفاده از تكنيكهاي آناليز عددي حل مي شوند اين است كه فرمول بندي يك مساله فيزيكي را با استفاده از حساب ديفرانسيل و انتگرال در نظر بگيريم و سپس آن را به شكل گسسته تبديل كنيم تا با روشهاي عددي قابل حل باشد. چنانچه در نمودار سيكلي مدل سازي رياضي براي مسائل فيزيكي بيان گرديد مرحله نهائي اين پروژه زماني قابل استفاده براي مسائل فيزيكي خواهد بود كه جواب يا پيش بيني حاصلها از الگوي رياضي ارزش عملي دانسته باشد و اين امر جز به وسيله آناليز عددي و محاسبات عددي مربوط به آن و تجزيه تحليل خطاهاي وارده و استفادهاز اصل دقت متغير در روشهاي رياضي امكان پذري ننخواهد بود. از طزفي نياز به رياضيات گسسته، محدود به آناليز عددي ميشد نمي توانستيم ادعا كنيم كه چنين رياضياتي نقش مقايسه كردني با حساب ديفرانسيل و انتگرال دارد. آناليز عددي با وجود كار بردهاي وسيع، آن موضوعي تخصصي است نمي تواند تأثير چشمكيري بر روند دآموزشي رياضيات بگذارد هر چند آناليز عددي مهمترين محل تلاقي رياضيات پيوسته گسسته است امروزه تنها يك جزء كوچك از كار بردهاي رياضيات گسسته را در‌بر‌مي‌گيرد.

فهرست مطالب
- مقدمه
- جايگاه و ضرورت آموزش رياضيات گسسته در نظام جديد دبيرستان 2

- محتواي كلي ريا ضيات گسسته 3

- تفاوت رياضيات گسسته و حساب ديفرانسيل و ا نتگرال 4

- مرور تاريخي مباحث مهم رياضيات گسسته 8

- مفهوم جاگشت 8

- اولين فن حدس زدن 8

- ديريكله 9

- تاريخچه اصل شمول و عدم شمول 9

- نظريه گراف 10

- مسئله پل كونيگسبرگ 10

- طريقه نمايش گراف 11

- گراف هاميلتوني 12

- رابطه هاي بازگشتي و مبادلات تفاضلي 19

- نمودار ترسيمي روشها و مدلهاي گسسته و پيوسته رياضي 25

- منابع 28