تركيبات و نظريه هاي گراف
دسته بندي :
علوم پایه »
ریاضی
در اين مقاله مي خواهيم به دو مبحث بزرگ از رياضيات گسسته با نامهاي تركيبات و نظريه‌ي گراف بپردازيم كه در اين دوران شاهد پيشرفت چشمگير آنها مي باشيم .
اين دو مبحث بدليل آنكه داراي كاربرد وسيعي در علم كامپيوتر و برنامه سازي هاي كامپيوتري مي‌باشند حائز اهميت فراوان مي باشند .
1-تركيبات :
شايد در نگاه اول تركيبات يك بخش معماگونه و سطحي از رياضيات به نظر برسد كه داراي كاربرد چنداني نبوده و فقط مفهوم هاي انتزاعي را معرفي مي كند ولي اين شاخه از رياضيات داراي گستره‌ي وسيع بوده و داراي شاخه هاي زيادي نيز مي باشد .
ابتدا به مسأله اي زيبا از تركيبات براي آشنا شدن بيشتر با اين مبحث ارائه مي كنيم .
سوال : يك اتاقي مشبك شده به طول 8 و عرض 8 داريم كه خانه‌ي بالا سمت چپ و خانه‌ي پايين سمت راست آن حذف شده است (مانند شكل زير)
حال ما دو نوع موزاييك داريم . يكي 2*1 ( ) و ديگري 1×2 ( ) سوال اين است كه آيا مي توان اين اتاق را با اين دو نوع موزائيك فرش كرد .
احتمالاً اگر شخص آشنايي با تركيبات نداشته باشد مي گويد «آري» و سعي مي كند با كوشش و
خطا اتاق را فرش كند ولي اين كار شدني نيست ؟! و اثبات جالبي نيز دارد .
اثبات : جدول را بصورت شطرنجي رنگ مي كنيم مانند شكل زير :
حال با كمي دقت متوجه مي شويم كه هر موزائيك يك خانه از خانه هاي سياه و يك خانه از خانه‌هاي سفيد را مي پوشاند يعني اگر قرار باشد كه بتوان با استفاده از اين موزائيك ها جدول پوشانده شود بايد تعداد خانه هاي سياه با تعداد خانه هاي سفيد برابر باشد ولي اين گونه نيست زيرا تعداد خانه هاي سفيد جدول برابر 32 و تعداد خانه هاي سياه برابر 30 مي باشد . در نتيجه اين كار امكان امكان پذير نيست .
اين مسأله مربوط به مسائل رنگ آميزي در تركيبات بوده كه داراي دامنه‌ي وسيعي از مسائل دشوار و پيچيده مي باشد در زير چند نمونه از مسائل آسان و سخت را بيان مي كنيم .
1-ثابت‌كنيد هيچ جدولي را نمي توان به موزائيك هايي به شكل و پوشاند .
(راهنمايي: ثابت كنيد حتي سطر اول جدول را هم نمي توان پوشاند)
2-ثابت كنيد يك مهره‌ي اسب نمي تواند از يك خانه‌ي دلخواه صفحه‌ي n*4 شروع به حركت كند و تمام خانه ها را طي كند .
3-يك شبكه‌ي n*m از نقاط داريم يك مسير فراگير مسيري است كه از خانه‌ي بالا سمت چپ
شروع به حركت كرده و از همه‌ي خانه هر كدام دقيقاً يك بار عبور كند و به خانه‌ي سمت راست پايين برود ثابت كنيد شرط لازم و كافي براي وجود يك مسير فراگير در شبكه‌ي n*m آن است كه لااقل يكي از m يا n فرد باشد (مرحله‌ي دوم المپياد كامپيوتر ايران) در شكل زير يك مسير فراگير را براي جدول 5*4 مي بينيم .
B
4-ثابت كنيد شرط لازم كافي براي پوشش جدول n*m با موزائيك هاي 2*1 يا 1*2 آن است كه يا m يا n زوج باشند .
حال مي‌خواهيم يك مبحث مهم از تركيبات به نام استقراء را معرفي كنيم.
استقراء بعني رسيدن ازجزء به كل و هم ارز است با اصل خوشترتيبي زير مجموعه‌ها( اصل خوشتربيني بيان مي‌كند كه هر مجموعه متناهي از اعداد عضوي به نام كوچكترين عضو دارد).
براي اثبات حكمي به كمك استقراء لازم است:
1) حكم را براي يك پاية دلخواه(كه معمولاً كوچك باشد) ثابت كنيم.
2) حكم را براي يك k دلخواه فرض مي‌گيريم.
3) به كمك قسمت 2 حكم را براي ثابت مي‌كنيم.
بسياري از گزاره‌ها به كمك اين استقراء كه در ظاهر ساده است ثابت مي‌شود:
يك مثال ساده:
ثابت كنيد: .
براي كه داريم و حكم برقرار است:
فرض كنيم براي درست باشد حكم را براي ثابت مي‌كنيم داريم:
كه اين قسمت طبق فرض بردار مي‌باشد
و براي نيز حكم مسأله برقرار است.
يك مثال سخت:
اين سئوال در المپياد كامپيوتر امسال مطرح شده و ما فقط يك قسمت آنرا بطور خلاصه بيان مي‌كنيم.
سئوال: در روز A داراي تعداد مجموعه مي‌باشد بطوريكه هيچ مجموعهاي زيرمجموعة ديگري نيست يعني اكر )
حل شايان در روز B مي‌آيد از روي مجموعه‌هاي A تمام مجموعه‌هايي را نمي‌سازيم كه داراي دو شرط زير مي‌باشند:
1- هر مجموعهاي دلخواه در روز B با تمام مجموعه‌ها در روز A اشتراك دارد.
2-اگر از يك مجموعة دلخواه در روز B يك عضو را حذف كنيم آنگاه ديگر شرط 1 برقرار نباشد( كه به اين شرط، شرط مينيمالي مي‌گوئيم:
حال فراز در روز C از روي مجموعه‌هاي B تمام مجموعه‌هايي با دو شرط بالا را مي‌سازد ثابت كنيد ( يعني تمام مجموعه‌هاي روز اول در روز سوم نيز توليد شده‌اند)
اثبات: ابتدا لم زير را ثابت مي‌كنيم:
لم: به ازاي هر مجموعة دلخواه در روز A مثل در روز B n تتا مجموعه وجود دارند بطوريكه هر كدام از آنها دقيقاً يكي از اعضاي را دارند( ممكن است اعضاي ديگري نيز داشته باشند ولي هر كدام دقيقاً يكي از را دارند.)
اثبات لم: با استقراء روي تعداد مجموعه‌هاي روز اول حكم را ثابت مي‌كنيم. براي يك مجموعه در روز A وضعيت مجموعه‌ها در روزهاي C,B,A مشخص شده‌اند: